By Gerd Fischer

Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affinen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel über lineare Optimierung befaßt sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann guy die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluß affiner Räume enthält guy den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele und Übungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen.

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A (xn) t(Xt, '" ,x n ) E Kn. Bemerkung. Jede Semiaffinitiit f: X -+ X ist eine KoBineation. Beweis. 1st Y C X eine Gerade, so ist nach Obungsaufgabe 2 T (f) T(Y) C T (X) ein Untervektorraum der Dimension 1, also ist feY) C X wieder eine affine Gerade. 3. 4. 1, Beispiele 2 und 3) umkehren kann. Dieses hat auch Anwendungen in der Relativitiitstheorie (zur Begriindung der Linearitiit der Lorentz-Transformationen, siehe [20]) und der geometrischen Optik (zum Nachweis, daJl. ein ideales optisches System weder vergro1l>ern noch verkleinern kann, siehe [27]).

Xn) 10+ P(Xb ... , xn) Definition. Eine Teilmenge Q C Kn heifllt Quadrik (oder Hyperf/iiche zweiter Ordnung), wenn es ein quadratisches Polynom P gibt, so daS Q = {(Xb ... ,xn)EKn: P(Xb ... ,xn) = O} Es ist vorteilhaft, die Quadrikengleichung durch Matrizen auszudriicken. _( alO A.. aOi . 3no . ::: }) mit an : =an und aij : = aji : =~ aij fUr i < j, wobei aij die Koefflzienten des Polynoms P sind. Dann ist A' symrnetrisch, und es ist P(XI, ... ,xn) = tx'·A'·x' also 1st so nennt man A' die erweiterte Matrix A und x' den erweiterten Spaltenvektor x.

Dann ist jede Kollineation f: X-+X eine Semiaffmitiit. 2). 10). lur Ermutigung des Lesers sei bemerkt, daJl. im Beweis des letzteren Satzes nur die einfachsten Grundbegriffe der projektiven Geometrie verwendet werden. Eine affine Version dieses Beweises fmdet man zum Beispiel in (1]. Hauptlemma. 1st K ein Korper mit mindestens drei Elementen, X ein affiner Raum tiber K und f: X -+ X eine Kollineation, so sind fUr je zwei parallele Geraden Y \, Y 2 C X auch die Bildgeraden f(Y I), f(Y 2) parallel.

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