By Albrecht Beutelspacher

Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale. Dabei ist der Goldene Schnitt kein isoliertes Phänomen, sondern in vielen Fällen das erste und somit einfachste nichttriviale Beispiel im Rahmen weiterführender Verallgemeinerungen. Ziel dieses Buches ist es, einerseits Beispiele des Goldenen Schnitts zu besprechen, andererseits weiterführende Wege aufzuzeigen.

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Conceptual Spaces: The Geometry of Thought

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The Art of the Intelligible (survey of mathematics in its conceptual development)

A compact survey, on the effortless point, of a few of the main very important innovations of arithmetic. recognition is paid to their technical beneficial properties, old improvement and broader philosophical importance. all the numerous branches of arithmetic is mentioned individually, yet their interdependence is emphasized all through.

Der Goldene Schnitt

Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale. Dabei ist der Goldene Schnitt kein isoliertes Phänomen, sondern in vielen Fällen das erste und somit einfachste nichttriviale Beispiel im Rahmen weiterführender Verallgemeinerungen.

Complex Manifolds and Hyperbolic Geometry: II Iberoamerican Congress on Geometry, January 4-9, 2001, Cimat, Guanajuato, Mexico

This quantity derives from the second one Iberoamerican Congress on Geometry, held in 2001 in Mexico on the Centro de Investigacion en Matematicas A. C. , an the world over famous software of study in natural arithmetic. The convention subject matters have been selected with an eye fixed towards the presentation of recent tools, fresh effects, and the production of extra interconnections among the various examine teams operating in complicated manifolds and hyperbolic geometry.

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Er sagt uns, daB sOlNohl PS und BD als auch OR und BD parallel sind. Also ist insbesondere PS II OR. Ebenso ergibt sich PO H RS. Daher ist PQRS ein Parallelogramm. Noch mehr: PQRS ist ein Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Diagonalen des Quadrats ABeD sind. Also stehen die Seiten von PQRS (wie die Diagonalen des Quadrats) senkrecht aufeinander. Mit anderen Worten: PQRS ist wirklich ein Rechteck. Nun zeigen wir, daB PQRS ein goldenes Rechteck ist. :\BQP ahnlich sind, und da nach Konstruktion iAPi/iBPi = <\I ist, ist namlich auch iPSi/iPQi 49 = <\I.

Dazu wenden wir den Strahlensatz (bzw. seine Umkehrung) an. Er sagt uns, daB sOlNohl PS und BD als auch OR und BD parallel sind. Also ist insbesondere PS II OR. Ebenso ergibt sich PO H RS. Daher ist PQRS ein Parallelogramm. Noch mehr: PQRS ist ein Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Diagonalen des Quadrats ABeD sind. Also stehen die Seiten von PQRS (wie die Diagonalen des Quadrats) senkrecht aufeinander. Mit anderen Worten: PQRS ist wirklich ein Rechteck. Nun zeigen wir, daB PQRS ein goldenes Rechteck ist.

Nun ist die Winkelsumme im Dreieck AACD gleich 180°. Daraus ergibt sich AACD = 72°. Trapez symmetrisch ist, ist auch AADC Also ist AACD ein Dreieck mit den Winkeln 36°,72°,72° und somit ein goldenes Dreieck. Daher hat AACD die Seitenlangen a, cj;la, cj;la fur eine geeignete Zahl a. ~ABI = lAC! ~CDI = cj;l/1 = cj;l. 0 Nun konnen wir uns unserem Faltproblem zuwenden. Unser Ziel ist, zu beschreiben, welche Knicke beim Falten entstehen. Das sehen wir, wenn wir das pferd vom Schwanz her aufzaumen: Wir geben ein Arrangement von linien auf einem Streifen vor und zeigen dann, daB diese Linien genau die Knickkanten bei der Knotenbildung sind.

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