By Guest M., Miyaoka R., Ohnita Y. (eds.)

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Fall: n· v :;t: 0 Es gibt genau eine Lasung ts, d. h. genau einen Schnittpunkt S: s = p _ n· (p - a) v. 53) 2. Fall: n· v = 0 Die Gerade g liegt parallel zu I.. , und alle ihre Punkte sind Schnittpunkte. : m· (x - a) = 0, cI>: n· (x - b) =0, I m I = 1; I n I =1. 3 Metrische Grundaufgaben mit Geraden und Ebenen 57 Wir bilden den Vektor v =mxn, der zu beiden Einheitsnormalenvektoren m und n der Ebenen orthogonal ist. 1. Fall: v =0 n =±m Dann ist und somit L II <1>. Wenn nun m· (b - a) =0 gilt, dann ist BE 11 L, also L = <1>, und samtliche Ebenenpunkte sind Schnittpunkte; andemfalls gibt es keine Schnittpunkte.

22). ) den Inhalt des Dreiecks OAB bezeichnet. a blsin ~ und damit /(oi = aZb2 sinz y= aZb 2(1-cos z y) = IIal1211bliz -llallzllbllz cosz y = II a ll z llbl1 2 - (a. b)2 , was die Behauptung ergibt. D 50 2 Grundbegriffe der analytischen Geometrie Mit Hilfe der Definition ist es nicht schwer, die folgenden Recbenregeln zu beweisen (a,b,cE IR 3 ,PE IR): (Rl) axb = -(bxa) (R2) p(axb) = (pa)xb = ax(pb) (R3) (a+b)xc = (axc)+(bxc) ax(b+ c) = (axb)+(axc). Sie besagen in der angefiihrten Reihenfolge, dass das Vektorprodukt alternierend und in beiden Argumenten sowohl homogen als auch additiv ist.

Wir erwarten eine Schnittgerade s, von der wir einen Punkt S konstruieren wollen. FUr eine Hilfsgerade durch A in L machen wir den Ansatz g: x=a+am+pn und miissen m 1. (am + Pn) fordem, d. h. m· (am + Pn) = 0, woraus wir a=-pm·n= -pp mit p :=m·n erhalten. Damit ist die Hilfsgerade g in L bestimmt: g: x=a-ppm+pn=a+p(n-pm). Wenn S E g in liegen solI, muss gelten n· (a+ pen-pm) -b) =O. ::)-:P= _n·(n-pm) und damit den Schnittpunkt n·(b-a) S: s=a+ (n-pm) mit p:=m·n. 54) gilt m· (x - s) =0 und n· (x - s) =0 fUr alle deshalb folgt x-s =t(mxn) mit tE JR.

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