By Rainer Oloff

Die Relativitätstheorie ist in ihren Kernaussagen nicht mehr umstritten, gilt aber noch immer als kompliziert und nur schwer verstehbar. Das liegt unter anderem an dem aufwendigen mathematischen Apparat, der schon zur Formulierung ihrer Ergebnisse und erst recht zum Nachvollziehen der Argumentation notwendig ist. In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie systematisch entwickelt, das ist die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten einschließlich Differentiation und Integration. Die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Die zentrale Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Einstein'sche Feldgleichung, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzt. Ausführlich werden die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. Dieser textual content richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus. Für die neue Auflage wurde das Buch durchgesehen und alle bekannt gewordenen Fehler korrigiert.

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2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten 41 Es bleibt zu zeigen, daß diese Zahl unabhängig von der Art und Weise der Fortsetzung ist. Dazu wählen wir eine Karte und dadurch Koordinatenvektorfelder 01, ... ,On und Kovektorfelder du l , ... ,dun. Weil A multilinear und F-homogen ist, gilt A(Kl, ... ,KP,Xl , ... ,Xq)(P) = A(K;I dU il , ... ,Kfp du ip ,X~IOkl"" ,X;qOkq)(P) = = K;I (P) ... K~ (P) X~l (P) ... x;q (P) A(du i1 , ... ,du ip ,Ok l ,' .. ,0kq)(P) , und die Unabhängigkeit von der Fortsetzung ist abzulesen.

Die Dimension spielt hier keine Rolle. 5 Für jeden zeitartigen Vektor x eines Lorentz-Raumes ist der Unterraum xl- = {y E E: g(x,y) = O}, ausgestattet mit -g als Metrik, euklidisch. Beweis. Für y E xl- mit y "I 0 ist -g(y,y) > 0 zu zeigen. Wir wählen eine LorentzBasis und interpretieren damit x und y als Komponenten-n-Tupel (xo ,Xl, ... ,x n- l ) bzw. (yO,yl, ... ,yn-l). Die Gleichung g(x,y) = 0 bedeutet und impliziert IxOllyOI Aus g(x,x) > 0 folgt ~ J(X l )2 + ... + (x n- l )2J(yl)2 + ... + (yn-l)2.

En-l im euklidischen Raum xl- und stellen z mit der Lorentz-Basis X,el, ... ,en-l dar. Ein Ansatz mit unbekannten Koeffizienten liefert sofort z = g(z,x)x - g(z,edel - ... - g(z,en-den-l . Daraus folgt g(z,z) = (g(z,x»)2 - (g(z,ed)2 - ... - (g(z,e n_l»)2 . 3 Orthogonale Geraden und somit Ig(x,z)1 ~ 1. Da z neben x auch zukunftsweisend ist, muß die x-Komponente von z positiv sein, also gilt außerdem g(x,z) > 0. ° Der Begriff der Orthogonalität in einem Lorentz-Raum im Sinne von g(x,y) = hängt natürlich wesentlich von der Metrik 9 ab und ist etwa im Fall IR?

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