By Vagn Lundsgaard Hansen

1. Geometric kinds in Nature. 1. Spirals and the fantastic Snail. 2. The Helix and the Twining Vine. three. The Geometry of cleaning soap motion pictures. four. The Geometry of Tiled Surfaces. five. The ordinary Polyhedra

2. The Topology of Surfaces. 1. a few everyday Surfaces. 2. The Projective aircraft and the Klein Bottle. three. what's a Closed floor? four. Orientable and Non-Orientable Surfaces. five. hooked up Sum of Closed Surfaces. 6. type of Closed Surfaces. 7. Higher-Dimensional Manifolds and Poincare's Conjecture

three. The Topology of Catastrophes. 1. The foundation of disaster concept. 2. Singularities: Mappings of the airplane into the airplane. three. The Fold disaster. four. The Cusp disaster. five. Thom's Theorem for structures with keep an eye on Variables and One kingdom Variable. 6. a few functions of the Cusp disaster. 7. the math at the back of the types of disaster concept. eight. The Seven straightforward Catastrophes in Space-Time. nine. a few common comments relating Applications.

four. Geometry and the actual global. 1. On arithmetic and Its Greek Legacy. 2. Greek Astronomy and the Ptolemaic approach. three. The Copernican global, Tycho Brahe and Kepler. four. The step forward of contemporary average technological know-how. five. Newton and Gravitation

five. Geometry and smooth Physics. 1. Maxwell and the Electromagnetic concept. 2. Einstein's conception of Relativity. three. Minkowski Space-Time and the detailed conception of Relativity. four. Curvature and Gravitation: the final concept of Relativity. five. The Physics of uncomplicated debris. 6. Fiber Bundles and Parallel Displacement in Fiber Bundles. 7. Gauge Theories and String Theories.

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Sie stehen aufeinander senkrecht. Diese Ableitung ist hier unter Benutzung der vektoriellen Schreibweise durchgefiihrt worden und unterscheidet sich nur durch den Gebrauch dieses Hilfsmittels von der in Kap. I A § 8 angegebenen Rechnung. (Vgl. auch Det. ) 56 II. Geometrie der Geraden und Ebene unter Benutzung der Vektorrechnung. § 4. Formeln, Gleichung der Geraden und Ehene in Parameterform. Auf diese Weise ist es moglich, einige der in Kap. I abgeleiteten Formeln einfacher zu schreiben. 1. = q-p .

Jeder zu K orthogonale Kreis geht bei der Inversion in sich selbst iiber. Zusammenfassend ergibt sich danach der Sat z 6: F olgende Kreise und nur diese gehen bei der Transformation dureh rfziproke Radien in sieh selbst uber: 1. AUe Geraden dureh 0, 2. K selbst, 3. aUe zu K urthogonalen Kreise. Weiter liiBt sich zeigen, daB zwei beliebige Orthogonalkreise bei der Spiegelung in Orthogonalkreise iibergehen. Allgemeiner gilt, daB die Abbildung winkeltreu ist, d. h. daB die Bildkreise sich unter demselben, Winkel schneiden wie die urspriinglichen.

Man zeige, daB x2 + y2 + Z2 = (a x + by + CZ)2 ein Kreiskegel ist. Welches ist die Gleichung der Achse des Kegels? Anleitung: Jede Kugel urn den N ullpunkt schneidet in zwei Ebenen! 18. Es seien N} = 0, N2 = 0, N3 = 0 die Gleichungen dreier Ebenen in Hessescher Normalform. Wann stellt die Gleichung + Ni Ni + N~ = const. eine Kugel dar? 19. Wie lauten die Gleichungen der Tangentialebenen an das Paraboloid 3 x 2 + 2 y2 = 2 z, die die Spurgerade der beiden Ebenen 3x+2y-13=O und 3x-z+6=~0 enthalten?

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