By Rudolf Berghammer

Das Lehrbuch führt in wichtige Themen der Ordnungs- und Verbandstheorie ein und behandelt bedeutende Informatikanwendungen. Die Ordnungs- und Verbandstheorie wird zur algebraischen Theorie der Relationen, kurz Relationenalgebra, ausgebaut. Des Weiteren widmet sich das Buch Informatikanwendungen, hauptsächlich der formalen Entwicklung von Algorithmen für diskrete Probleme. Beispiele aus der Ordnungs- und Verbandstheorie schlagen den Bogen zurück zum ersten Teil des Buches.

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Jeder Unterverband, jeder Produktverband und jedes homomorphe Bild eines distributiven Verbands ist distributiv. 2. Das Dualitatsprinzip gilt auch fiir distributive Verbande. Beweis: Wir argumentieren genau wie bei den modularen Verbanden: Distributive Verbande sind „gleichungsdefiniert" (Satz von G. 2, da das duale Axiom aquivalent zum Originalaxiom ist. 2 fiir modulare Verbande. 1 erst Beispiele angegeben, bevor wir genauer auf die Theorie eingingen. Hier wollen wir es genauso halt en. 5 Beispiele (fur distributive/nicht-distributive Verbande) Nachstehend geben wir einige Beispiele fiir distributive Verbande an und auch ein Beispiel fiir einen nicht-distributiven Verband.

In diesem Zusammenhang heifit das Hasse-Diagramm dann die Uberdeckungs-Relation und wird mit dem Symbol „ ^ " bezeichnet. • In dieser Definition setzen wir die Kenntnis der reflexiv-transitiven Hiille aus dem Grundstudium voraus. Detailliert werden wir diese Hiille spater im Rahmen abstrakter Relationenalgebra behandeln. AuBerdem haben wir die Paarbildung bei einem zweifachen direkten Produkt mittels der Klammern „(" und „)" bewerkstelligt. Hier werden in der Literatur oft auch die runden Klammern „(" und „)" verwendet.

Aus der Bemerkung vor dieser Definition folgt, daB die Operationen des Quotientenverbands unabhangig von den Reprasentanten sind, also wohldefinierte Abbildungen darstellen. Die zu zeigenden Gleichungen bekommt man dann direkt aus denen von V. Beispielsweise zeigt [a] U [b] [a U y b] [b L\v a] [b]^[a] = = = V Verband fiir alle a, 6 G F das erste Kommutativgesetz; der Rest folgt in ahnlicher Weise. Die Homomorphieeigenschaft von t/j fiir U zeigt man fiir alle a, 6 G F wie folgt: V^(a Uv b) = = = [a Uy b] [a] U [b] ^ ( a ) U i/j{b) Definition Quotientenverband Analog beweist man jp{a Fly b) = ilj{a) n il){b) fiir alle a, 6 G F .

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